Dalla matematica salvezza e perdizione, ossia: la congettura di Riemann e i codici a chiave pubblica.

 

Nella foto qui sopra il matematico Riemann, che ha ideato la famosa congettura che porta il suo nome.

 

 

Tutto il commercio elettronico ed i rapporti tra banche si fondano sulla crittografia. Quando, per esempio, acquistiamo qualcosa in rete, veniamo inseriti in un canale particolare, sicuro. Il male intenzionato che riuscisse ad intercettare il documento che inviamo al server non sarebbe in grado di decifrare il numero della nostra carta di credito, perché esso è stato crittato. Tutti i codici classici si basano su una chiave segreta. Il vostro computer ed il server ospite si scambiano una chiave, che è creata sul momento, nuova ogni volta. Per passarsi la chiave occorre evidentemente un protocollo di trasmissione che metta in cifra il messaggio senza avere bisogno di effettuare uno scambio di chiavi, altrimenti si entrerebbe in un circolo vizioso. I metodi usati in questa prima ed essenziale fase sono detti cifrari a chiave pubblica. Nel caso di un cifrario a chiave pubblica, chiunque può conoscere la chiave: non riuscirà lo stesso a rompere il codice. In sostanza, tralasciando diverse altre parti troppo tecniche, in una transazione commerciale on-line sono utilizzati due codici: uno standard (si dice simmetrico) che richiede di una chiave segreta ed è molto veloce, l'altro a chiave pubblica, in genere più lento perché esegue calcoli pesanti. Per esempio, come codice simmetrico si potrebbe usare l'AES (Advanced Encription Standard) e come codice a chiave pubblica l'RSA (acronimo dei nomi dei suoi inventori: Rivest, Shamir e Adleman). E' chiaro che se si rompe il codice a chiave pubblica, il quale custodisce la chiave del codice simmetrico, tutto viene a cadere. Uno degli algoritmi più usati è proprio lo RSA. La sua forza si basa sul fatto che:

1) E' facile trovare numeri primi grandi

2) E' difficile fattorizzare un intero prodotto di due numeri primi grandi

Ovviamente il termini "facile", "difficile" e "grande" riguardano la conoscenza scientifica e alla tecnologia disponibili. Adesso sono grandi primi di alcune centinaia di cifre decimali. Facile rappresenta un tempo di secondi e difficile di secoli. Concludendo: l'intero sistema di sicurezza mondiale entrerebbe in gravi difficoltà se qualcuno trovasse un algoritmo veloce per la fattorizzazione di interi. Che cosa c'entra tutto questo con la congettura di Riemann? Sentiamo le parole del professor Marcus du Sautoy, autore di un bestseller pubblicato in Italia da Rizzoli, con il titolo "L'enigma dei numeri primi":
L'intero commercio elettronico dipende dai numeri primi. Io ho descritto i primi come atomi: ciò che manca ai matematici è uno spettrometro di primi. I chimici possiedono una macchina che, se ci mettete una molecola, vi dice di quali atomi è composta. I matematici non hanno inventato una versione analoga di essa. Se l'ipotesi di Riemann è vera, essa non produrrà di per sé uno spettrometro. Ma la sua dimostrazione potrebbe farci capire meglio il funzionamento dei numeri primi, e quindi la dimostrazione potrebbe essere trasformata in qualcosa che potrebbe produrre questo spettrometro di primi. Se ciò accadrà, metterà in ginocchio l'intero commercio elettronico nello spazio di una notte.

Come si può arguire, un futuro prossimo in cui utilizzare bancomat e carte di credito sarà impossibile. Fino a che i numeri primi erano considerati casuali, potevano essere utilizzati senza problemi nelle moderne applicazioni di cifratura dei dati, che vanno dalle transazioni bancarie e il commercio elettronico all'uso delle carte di credito e al trasferimento di denaro su Internet. Una volta che la casualità sarà provata falsa, però, finirà la cuccagna, nessun codice sarà più sicuro e nessuna transazione sarà protetta da intrusioni fraudolente. Alcuni pensano che per l'economia questo potrebbe essere l'equivalente di un asteroide che colpisca la Terra. Ma, alla fine, che cosa dice mai questa congettura di Riemann? Nel seguito denoteremo la congettura di Riemann con l'abbreviazione usuale RH, che sta per Riemann Hypothesis. Per esprimere la RH occorre introdurre la funzione z, detta funzione zeta di Riemann. Essa è così definita:

z(s) = å 1/ns

dove nella sommatoria n varia da 1 all'infinito,e s è un numero complesso con parte reale maggiore di 1. La funzione z(s) è stata poi estesa da Riemann a tutto il piano complesso .

Possiamo ora enunciare la RH (che riguarda la estensione di z(s)):

Gli zeri complessi di z(s) hanno tutti parte reale = 1/2. Gli zeri complessi di z formano un insieme numerabile e discreto. Per ragioni di simmetria è sufficiente esaminare quelli con parte immaginaria positiva, sopra l'asse delle ascisse. Si trovano un primo zero, un secondo, un terzo... La RH dice che essi sono tutti della forma

1/2 + b I

dove I è l'unità immaginaria, cioè I2 = -1

I primi sei zeri che si trovano hanno parte reale uguale a 1/2 e parte immaginaria (approssimata) b rispettivamente uguale a

14.134725, 21.022040, 25.010858, 30.424876, 32.935062, 37.586178

Sono stati calcolati più di 100 miliardi di zeri consecutivi e la RH è provata per b < 29538618432. Molti zeri sono vicinissimi, difficili da separare. Il calcolo degli zeri di z è assai delicato e richiede metodi matematici sofisticati. La forza è nella verità o nella dimostrazione? Alcuni sostengono che l'impatto della dimostrazione di RH sarebbe terribile e cioè "i numeri primi non sarebbero più a caso" e quindi…addio segretezza nei dati.

 

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